পাইপ এবং পানির ট্যাংক সংক্রান্ত সমস্যা

পাইপ এবং পানির ট্যাংক সংক্রান্ত গাণিতিক সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে কিছু বিষয় মনে গেঁথে নেয়া উচিত। চলুন, এই অধ্যায়ের প্রাথমিক আলোচনায় যাওয়া যাক।ধরুন,একটি ট্যাংক রয়েছে যা পানি বা অন্যকোন তরল পদার্থ দিয়ে পূরণ করতে হবে।এতে ২টি Pipe বা নল আছে, যা দিয়ে পানি ট্যাংকের ভিতর প্রবেশ করে। আপনাকে বলা হয়েছে ১ম নল দিয়ে ট্যাংককে ১০ঘন্টায় ভর্তি করা যায় এবং ২য় নল দিয়ে দিয়েও ১০ঘণ্টায় ট্যাংকটি ভর্তি করা যায়। তাহলে, যদি দুটিনলকে একসাথে খুলে দেয়া হয়, তবে কতক্ষন সময় লাগবে ট্যাংকটি ভর্তি হতে।এবার তাহলে এর উত্তর বের করার চেষ্টা করা যাক।

প্রথমে লক্ষ্য করুন, ১ম নল ১০ ঘন্টায় ভর্তি করতে পারে। তাহলে তো বলা যায় যে ১ম নল ১ ঘন্টায় ভর্তি করে = ১/১০ অংশ
একই ভাবে, যে ২য় নল ১ ঘন্টায় ভর্তি কর=১/১০ অংশ
তাহলে নল ২টি একত্রে যখন খুলে দেয়া হয়, তখন ১ ঘণ্টায় ভর্তি করে = ১/১০ অংশ+ ১/১০ অংশ
=(১+১)/১০ অংশ
= ২/১০ অংশ
= ১/৫ অংশ
তাহলে তো বলা যায়, যেহেতু একত্রে ১/৫ অংশভর্তি করতে পারে ১ ঘন্টায়, তাহলে মোট ৫ঘন্টায় সম্পুর্ন ট্যাংকটি ভর্তি করতে পারবে।
এখানে খেয়াল করুন, ৫ঘন্টায় কী হচ্ছে।
১ম ঘণ্টায় = ১/৫ অংশ,২য় ঘণ্টায় = ১/৫ অংশ ,৩য় ঘণ্টায় = ১/৫ অংশ , ৪র্থ ঘণ্টায়= ১/৫ অংশ , ৫ম ঘন্টায় = ১/৫ অংশ
সবগুলোকে যোগ করলে আমরা পাই = (১+১+১+১+১)/৫ অংশ = ৫/৫ অংশ = ১ বা সম্পুর্ন অংশ।

বিদ্রঃ মনে রাখতে হবে, এখানে ভর্তি হওয়া বুঝাতে ১ বুঝানো হয়েছে। আরেকটি দিক খেয়াল করুন, ১ ঘণ্টায় যে অংশ ভর্তি করছে, অর্থাৎ ১/৫ অংশএর সাথে ৫দিয়ে গুন দিলে আমরা ১বা সম্পুর্ন অংশ পেয়ে যাচ্ছি। (১/৫ অংশ ×৫=১)

তাহলে আমরা একটি সূত্র পেয়ে গেলাম। যদি ১ম নল x ঘণ্টায় পূর্ণ করতে পারে এবং ২য় নল y ঘণ্টায় পূর্ণ করতে পারে একটি ট্যাংককে, তাহলে উভয়নল একত্রে ১ ঘণ্টায় পুর্ণ করতে পারে = ১/x+ ১/yঅংশ।তাহলে যদি বলা হয় তারা একত্রে a ঘণ্টায় ভর্তি করতে পারে তাহলে একটু ঘুরিয়ে বলা যায় = a(১/x+ ১/y) = ১

এবার আমরা আরেকটি সমস্যা দেখি।
ধরুন, আগের সমস্যাটির সাথে আরেকটি নলযুক্ত করা হয়েছে, যা কিনা ২০ঘণ্টায় ট্যাংকটি খালি করতে পারে।তাহলে যদি তিনটি নল একসাথে খুলে দেয়া হয়, তবে কি অবস্থা হবে।
এবার খেয়াল করুন, যেহেতু ৩য় নল খালি করে ২০ঘণ্টায়, তাহলে বলতে পারি, প্রতিঘণ্টায়১/২০অংশ খালি হবে।কিন্তু এই অংশটি কি যোগ হবে না কি বিয়োগ হবে আগের সমীকরণের সাথে! অবশ্যই বিয়োগ হবে কেননা আগের দুটি নল ভর্তি করছে, তাই যোগ করেছি, কিন্তু এটি খালি করছে।তাই বলা যায়, এখন ১ঘণ্টায় পুর্ণ হবে আগের চেয়ে কম।
অতএব, ১ঘণ্টায় ভর্তি হয় = ১/১০ অংশ+ ১/১০ অংশ-১/২০অংশ = (২+২-১)/২০অংশ = ৩/২০অংশ
তাহলে যেহেতু ১ঘণ্টায়৩/২০অংশ ভর্তি হবে, তাহলে বলা যায়২০/৩ঘণ্টায় সম্পুর্ন ট্যাংকটি ভর্তি হবে।
তাহলে আমরা আরেকটি সমীকরণ বের করতে পারি, নিচের প্রশ্ন থেকে।

যদি ১ম নল x ঘণ্টায় পূর্ণ করতে পারে ২য় নল y ঘণ্টায় পূর্ণ করতে পারে একটি ট্যাংককে এবং ৩য় নল খালি করে z ঘণ্টায় তাহলে ৩টি নল একত্রে ১ঘণ্টায় পুর্ণ করতে পারে = (১/x+ ১/y- ১/z)অংশ

এবার আসুন, আরেকটি মজার দিক আলোচনা করা যাক।ধরুন, ১ম নল ১০ঘণ্টায় ভর্তি করতে পারে একটি ট্যাংককে এবং ২য় নল খালি করতে পারে একই ট্যাংককে ২ঘণ্টায়।এবার যদি সম্পুর্ন ভর্তি থাকা অবস্থায় দুটি নল খুলে দেয়াহয়, তবে কী অবস্থা হবে?

খুব সহজেই বলা যায়, ১ঘণ্টায় ভর্তি হবে = ১/১০ – ১/২অংশ = (১-৫)/১০ = – ৪/১০অংশ = -২/৫অংশ

বলতে পারবেন, এখানে নেগেটিভ মান পেয়েছি কেন! আসলে একটু খেয়াল করলে দেখতে পারবেন, প্রতি ঘন্টায় যে অংশ ভর্তি হচ্ছে তার চেয়ে বেশি অংশ খালি হচ্ছে (১/২>১/১০), তাই এখানে নেগেটিভ মান এসেছে।তাহলে আমরা বলতে পারি, এখানে আসলে পানি ভর্তি হচ্ছে না বরং প্রতি ঘণ্টায়২/৫অংশ খালি হচ্ছে।তাই এখানে নেগেটিভ মান দিইয়ে মূলত খালি হচ্ছে বুঝানো হয়েছে।এবার তাহলে বলতে পারি, যেহেতু প্রতি ঘণ্টায়২/৫অংশ খালি হচ্ছে, তাহলে মোট৫/২বা২.৫ঘণ্টা লাগবে পুরো ট্যাংকটি খালি হতে।

এবার একটু ভিন্নধরনের সমস্যার দিকে যাওয়া যাক।নিচের সমস্যাটি লক্ষ্য করুন।

একটি ট্যাংকে ৩টি নল আছে।১ম নল ১০ঘন্টায় এবং২য় নল ১০ঘন্টায় ভর্তি করতে পারবে ট্যাংকটি।কিন্তু ৩য় নল দিয়ে প্রতি মিনিটে ৫লিটার করে পানি বের হয়ে যায়। যখন ৩টি নল একত্রে খুলে দেয়া হয় তখন ট্যাংকটি৬২/৩ঘণ্টায় ভর্তি হয়।তাহলে ট্যাংকের ধারণ ক্ষমতা নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে খেয়াল করুন, ৩য় নলটি কতক্ষনে সম্পুর্ন পানি বের করতে পারে, তা কিন্তু বলা হয়নি।তাহলে ধরে নেয়া যাক, ৩য় নলটি ক ঘণ্টায় খালি করতে পারে।তাহলে বলা যায়
৩টি নল একসাথে খুলে দিলে প্রতি ঘণ্টায় ভর্তি হবে = ১/১০ অংশ+ ১/১০ অংশ-১/(ক )অংশ = (ক+ক-১০)/১০কঅংশ
এখন প্রশ্ন থেকে আমরা জানি, ট্যাংকটি ভর্তি হয়৬২/৩ঘণ্টায় বা২০/৩ঘণ্টায়।
প্রশ্নমতে,
২০/৩ ((ক+ক-১০)/১০ক)=১বা সম্পুর্ন অংশ
বা, ((৪০ক-২০০)/৩০ক)=১
বা, ৪০ক – ২০০= ৩০ক
বা, ক = ২০
তাহলে বলতে পারি, ৩য় নল ২০ঘন্টায় খালি করতে পারে।যেহেতু ২০ঘণ্টায় খালি করবে তাহলে বলা যায়, যেমোট২০×৬০=১২০০ মিনিট লাগবে। প্রশ্নে বলা আছে, ৩য় নল দিয়ে প্রতি মিনিটে ৫ লিটার করে পানি বের হয়। তাহলে, যেহেতু ৩য় নল একা ১২০০ মিনিটে খালি করতে পারে, তাই বলা যায়, মোট = ১২০০×৫=৬০০০ লিটার পানি বের করবে।তার মানে হচ্ছে, ট্যাংকে ৬০০০লিটার পানি ধারণ করতে পারে।

এবার আরেকটি সমস্যা নিয়ে আলোচনা করা যাক। ধরুন, ১ম নল ১০ ঘণ্টায় একটি ট্যাংক ভর্তি করতে পারে এবং ২য় নলটি ১০ ঘন্টায় ভর্তি করতে পারে একই ট্যাংক। দুইটি নল একত্রে খুলে দেয়া হল যখন ট্যাংকটি সম্পুর্ন খালি ছিল। ২ ঘন্টা পর ২য় নলটি বন্ধ করে দেয়া হল কতক্ষন সময় লাগবে সম্পুর্ন ট্যাংকটি ভর্তি হতে?

উত্তরঃ যেহেতু, ২ ঘন্টা ২টি নল খোলা থাকবে, সেহেতু প্রথম ২ ঘণ্টার,
প্রতি ঘণ্টায় ভর্তি হবে= ১/১০ অংশ+ ১/১০ অংশ
= (১+১)/১০ অংশ
= ২/১০ অংশ
= ১/৫ অংশ
যেহেতু, প্রতিঘণ্টায়১/৫ অংশভর্তি হবে, সেহেতু ২ ঘণ্টায় ভর্তি হবে = ১/৫ অংশ ×২ = ২/৫ অংশ
এখন, ২য় নল বন্ধ করে দেয়া হবে। তাইএখন প্রতিঘণ্টায় ভর্তি হবে কেবল১/১০ অংশ এবং যেহেতু২/৫ অংশভর্তি হয়েছে, তাই খালি আছে = ১ – ২/৫ অংশ = ৩/৫ অংশ (যেহেতু, সম্পুর্ন বলতে ১ বুঝিয়েছি)
তাহলে বাকি অংশ ভর্তি হতে সময় লাগবে = (বাকিঅংশ)/(প্রতিঘণ্টায়ভর্তিহওয়াঅংশ) ঘণ্টা
= (৩/৫)/(১/১০) ঘণ্টা
= ৩/৫ × ১০ ঘণ্টা
= ৬ ঘণ্টা
তাহলে মোট সময় লাগবে = (৬+২) = ৮ ঘণ্টা

সময়কে কাজে লাগিয়ে পড়াশুনা চালিয়ে যান। সফলতা আসবেই।

লেখা সংক্রান্ত যেকোনো পরামর্শের জন্য আমার ইনবক্সে টেক্সট করতে পারেন। ফেইসবুক আইডি- Avizit Basak

“ Without your involvement you can`t succeed. With your involvement you can`t fail.” -A.P.J. Abdul Kalam

বি দ্রঃ লেখাটাতে শুধু আমার নিজের আইডিয়া অনুযায়ী ধারণা দেয়া হয়েছে। আপনি আপনার মত করেও প্রস্তুতি নিতে পারেন। সফল হবার জন্য যে প্রস্তুতি দরকার, সেটা সম্পন্ন করাটাই মুখ্য কাজ।আর ছোটখাটো ভুল থাকলে ক্ষমাসুন্দর দৃষ্টিতে দেখবেন দয়া করে।